2.3：微分方程的震荡解

学习目标

l 探索波动方程震荡解的基础

l 了解边界条件对可能解的影响

l 合理化满足边界条件如何强制量子化(即，仅存在具有特定波长的解)

两端固定为零的弦的边界条件表明u（x，t）在弦的极端处坍缩到零（图2.3.1 )。

图 2.3.1 ：字符串中的驻波(空间和时间)。

不幸的是，当K>0时，一般解（方程2.2.7)导致指数衰减和增长之和无法达到边界条件（除了平凡解）；因此K<0，这意味着我们必须引入复数，因为√K方程2.2.5中的术语。因此，我们可以重写K: 

方程 2.2.4b 可以表示为

方程2.3.2形式的微分方程的一般解是

例 2.3.1

验证方程式2.3.3是方程2.3.2形式的微分方程的一般形式，其中用方程2.3.1代替交给

解答

通过欧拉公式

合并同类项

引入新的复数常量 c1=A+B和 c2=i(A−B)

因此，方程 2.3.4可以表示为振荡函数

现在，让我们应用方程2.2.7中的边界条件来确定常数c1。代入第一个边界条件(X(x=0)=0）代入方程2.3.5的通解，得到结果

并代入第二个边界条件(X(x=L)=0）代入方程2.3.5的通解，得到结果

我们已经知道c1=0从第一个边界条件得到方程2.3.7简化为

给定正弦的性质，方程 2.3.7 简化为

跟 n=0是我们忽略的无意义的解，因此 n=1,2,3...

代入公式2.3.10以及2.3.6代入公式2.3.5，得到结果

可以简化为

其中

类似的论点也适用于假设的另一半(T(t)).

练习 2.3.1

给定两个行波：

求 ψ1 和 ψ2

找到以下内容并确定节点：

ψ₊=ψ1+ψ2和ψ₋=ψ1−ψ2

解决方案 a

ψ1是一个正弦函数。在每个整数nπ处，其中n=0，±1，±2，...，正弦函数将为零。因此，当c1x+c2t=πn时ψ1=0。求解x，同时忽略无意义的解：

此波的速度为：

同样适用于ψ2。在每个整数nπ处，其中n=0，±1，±2，...，正弦函数将为零。因此，当c1x−c2t=πn时ψ2=0。解出x，对于ψ2:

此波的速度为：

每个波的波长是两个连续节点之间距离的两倍。换句话说，

解决方案 b

找到 ψ₊=ψ1+ψ2和ψ₋=ψ1−ψ2

在每个x=nπ/c1处应有一个节点和