3.3：薛定谔方程是一个特征值问题

学习目标

l 认识到每个量子力学可观测量都是通过不同算子的特征值问题来确定的。

l 确认特定波函数是否为某一特定操作的本征函数，并提取对应的可观测量（即本征值）。

l 认识到薛定谔方程，就像所有可测量的物理量一样，也是一个特征值问题，其特征值被赋予总能量。

l 识别并操作多个常见的量子力学算子

根据定义，作用于函数的运算符会生成另一个函数，但当生成的函数与原始函数成比例时，会出现特殊情况。

通过引入比例常数k，该案例可以用等式来表示。

并非所有函数都能像方程3.3.2那样解方程。如果函数确实存在，那么ψ被称为特征函数，其中k为常数被称为特征值（这些术语是德语的混合体，纯英语的对应词分别是“特征函数”和“特征值”）。求解特征值问题在大多数线性代数课程中都有讨论。

在量子力学中，每个实验可测量值a是特定算子（A^）的特征值。

a特征值表示A^算符的可能测量值。经典地，a可以被允许连续变化，但在量子力学中，a通常只允许使用部分值（因此具有量子特性）。时间依赖和时间独立的薛定谔方程是量子力学中最著名的本征值方程实例，其本征值对应于量子系统的允许能级。

作用于ψ(x)的左侧对象是运算符的一个示例。

实际上，它要求我们对ψ(x)求二阶导数，将结果乘以−（ℏ2/2m）然后加上V(x)ψ(x)量子力学涉及多种类型的算子。然而，其中一个特别重要，因为它出现在薛定谔方程的左侧。这个算子被称为哈密顿算子，并用符号表示为

因此，含时态薛定谔方程可以（更常见地）写成

和与时间无关的薛定谔方程

注意方程3.3.8的函数形式与方程3.3.2中的通用特征值方程相同。其中，特征值即为允许的总能量E。

哈密顿量是以爱尔兰数学家哈密顿的名字命名的，它来源于来源于基于总能量的经典力学公式，H=T+V，而不是牛顿第二定律，F=ma。方程式3.3.8表示哈密顿算子作用于波函数，从而产生能量E，这是一个标量（例如，用焦耳表示）乘以波函数。

对应原则

注意H^源自经典能量公式p²/2m+V(x)，只需替换p→−iℏ（d/dx），这是尼尔斯·玻尔最初提出的对应原理的一个例子，该原理指出，量子理论描述的系统的行为在量子数很大的极限下重现经典物理。

量子力学的一个基本原则是，每个物理可观测量都有一个对应的算符。物理可观测量是指任何可以被测量的量。如果描述系统的波函数是某个算符的本征函数，那么通过该算符作用于本征函数，可以得到该可观测量的值。此时，该可观测量的值即为本征值，系统也就处于一个本征态。方程3.3.8该原理以数学方式表述了能量作为可观测量的情况。如果波函数不是操作的本征函数，那么测量将给出一个本征值（根据定义），但每次测量得到的本征值不一定相同（这一点将在后续章节中详细讨论）。