加速权重直方图-讲解

加速权重直方图（AWH，Accelerated Weight Histogram）方法通过添加自适应确定的偏置势来计算沿反应坐标的 PMF。而 AWH 则是利用依赖于历史的势能“填充”系统的自由能极小值，将沿反应坐标的自由能势垒平坦化。其思想类似于其他自适应偏置势方法，如 Wang-Landau 方法，局部抬升方法以及元动力学方法。AWH 的初始采样阶段使得该方法对输入参数的选择具有稳健性。此外，还可以自由选择沿反应坐标的目标分布。AWH 作用于参考坐标λ，而不是直接对反应坐标ξ(x) 进行偏置。反应坐标ξ(x)通过简谐势与 g(λ) 进行耦合。

这样对于大的力常数k，ξ≈λ。请注意这里使用了无量纲的能量，以便与以前发表的论文兼容。能量单位可以通过乘上kBT = 1/β得到。在模拟中，λ在用户定义的采样区间I中进行采样。对多维反应坐标ξ，采样区间是笛卡尔积= ΠμIμ（矩形区域）。原子坐标和λ之间通过扩展系综相联系.

其中g(λ) 是一个偏置函数（自由变量），而V(x)是系统的无偏势能。通过明智地选择 g(λ) ，可以将沿的λ分布调整为预定义的任意目标分布  ρ(λ)（通常选为平坦的常数分布）。这很明显，因为

其中F(λ) 为自由能。F(λ) 是 PMF 与由简谐势定义的高斯的卷积，它是 PMF 的平滑值。说明要得到P(λ) =ρ(λ)，必须精确地计算 F(λ)。因此，AWH 自适应地计算F(λ) ，并同时将 P(λ)收敛到ρ(λ)。

自由能更新

AWH 使用自由能的估计值F0(λ) 进行初始化。在固定的时间间隔内，使用在各个更新之间收集的数据对原来的估计值进行更新。在n次更新时，施加的偏置gn(λ)为当前自由能估计值值Fn(λ)和目标分布ρn(λ)的函数

请注意，在模拟过程中也可以更新目标分布,将 g=gn代回方程得到简单的自由能更新

假定Pn(λ)能够精确地测量，就可以得到更好的自由能估计值Fn+1=Fn+ΔFn。AWH 通过定期计算条件分布来估计Pn(λ)。

对这些概率权重进行累加，得 ∑t𝜔(λ|x(t)) ~ Pn(λ)，其中使用了关系式 ∫Pn(λ|x)Pn(x)dx =Pn(λ)。因此 𝜔𝑛(λ|x) 权重是 AWH 方法的样本。由于实际使用时采样量有限，更新方案得到的结果噪声非常大。AWH 施加的自由能更新方案具有相同的形式，但可以重复施加有限的，局部的采样。

这里 𝑊n(λ) 为代表先前采样的 参考权重直方图。忽略初始阶段, 𝑊(λ) 的更新为

因此，权重直方图等于样本的目标“理想”历史。关于自由能更新，有两件重要的事情需要注意。首先，采样会远离过度采样的，当前的局部区域。根据方程 ，对满足 ωn(λ)>ρn(λ)和 ΔFn(λ)< 0的λ值，意味着 Δgn(λ)< 0 (假定 Δρn≡ 0)。因此，在更新之后，采样λ的概率会降低。其次，直方图的归一化因子Nn=∑λ𝑊n(λ) 决定了更新大小 |ΔF(λ)|。例如，对于单次采样ω(λ|x)，更新的形状近似为宽度为σ=1/√βk，高度为∝1/Nn的高斯函数

因此，随着𝑊(λ) 样本的增加和Nn的增长，更新会变得越来越小，从而自由能慢慢收敛。

请注意，用户感兴趣的量不是F(λ) 而是 PMF Φ(ξ)。Φ(ξ) 通过实时地重新加权样本 ξ(t) 计算出来，它与 F(λ) 具有相同的收敛速度。

PMF会写入输出文件中。

对体系施加偏置

偏置势可以通过两种方式施加到系统上。一种方法是施加以 λ(t) 为中心的简谐势，它来自条件分布n(λ|x(t)) = Pn𝑛(λ|x(t)) 的（无拒绝）蒙特卡洛采样。这种方法也称为吉布斯采样或独立采样。另一种方法，也就是默认方法，施加了下面的 卷积偏置势，

这两种方法在某种意义上是等价的，因为它们会给出相同的有偏概率Pn(x) ，但这两种方法对应的动力学明显不同。方法的选择不会影响 AWH 算法的内部，只影响 AWH 返回给 MD 引擎的力和势能。

双阱势中布朗粒子 AWH 的时间演化。反应坐标ξ(t) 在初始阶段多次穿过采样区间，然后退出并进入最终阶段。在最终阶段，ξ 的动力学变得越来越分散

在最终阶段，ξ的动力学变得越来越分散。覆盖的时间以∼1/𝑁× 表示，具有不同颜色的标记。在这些时刻，自由能更新大小，其中 N为权重直方图的大小，通过对N使用因子γ= 3进行缩放。

在最终阶段，N以采样率增长，因此 1/N∼1/t。最终阶段的退出是实时决定的，退出时确保了最终阶段所收集数据的有效样本权重s超过初始阶段数据的值 (注意绘制的是 lns(T)).

从模拟中提取的 PMF 估计值（右下）在退出初始阶段后可以相当准确地给出全局自由能差值。