通俗讲解：几何相位/Berry Phase/贝里相位

几何相位（Geometric Phase）是物理学中一种特殊的相位现象，与系统的动力学演化无关，而是由系统在参数空间中运动的几何路径形状决定的额外相位。它最早由印度物理学家Pancharatnam在1956年研究偏振光干涉时发现，后由英国物理学家Michael Berry在1984年完善并推广到量子力学领域，因此也被称为贝里相位（Berry Phase）。

在经典力学及量子力学中，几何相位是当系统经历了周期性绝热过程的一个周期后获得的相位差。这种相位差是由哈密顿量的参数空间的集合性质导致的。非绝热耦合的循环积分可以用来计算贝瑞相位。这一相位是势能面交叉点的奇异性与高斯-博内定理的结果。即使在绝热过程中，贝瑞相位仍有一定的动力学效应，可以观测到振动光谱中能级的下移。

若系统处于第n个量子态，则通过哈密尔顿的绝热过程（或路径积分表述）：

其中的γm(t) 是贝里相位，也可能写为

所以贝里相位是贝里曲率的积分。R是参数，C是参数空间的回卷。

印度物理家Shivaramakrishnan Pancharatnam（盘查拉特纳姆，1956年）与 H.C.Longuet-Higgins （1958）分别独立的在经典光学领域和分子物理领域发现了几何相位，迈克尔·贝里推广了这一现象（1984年）。

几何相位的其他名字包括Pancharatnam相位或贝里相位。

几何相位例子包括阿哈罗诺夫–波姆效应、潜在能量的表面、和经典力学的傅科摆。几何相位是一个系统在沿着一个奇怪形状的表面（如球面）移动的过程中状态的改变。

度量量子力学的几何相位需要干涉的实验。

一、核心特点：

路径依赖性：相位大小仅取决于系统演化的闭合路径在参数空间中的几何形状，与演化速度、时间无关。

普遍性：存在于量子力学、光学、凝聚态物理等多个领域，例如光波偏振态变化、量子态绝热演化等。

二、通俗案例解析

案例1：停车打方向的“蛇形操作”（贝里本人举例）

假设你试图将车停入狭窄车位，通过反复“前进-转向-倒车”调整位置。每次循环后，车的位置（动力学效果）逐渐靠近目标，但方向盘转过的总角度（几何相位）仅取决于路径形状，而非操作速度。这些细微的侧向移动，（和贝里相位）有同样的数学原理：有些东西改变了又变回来了；其他东西改变了，但变不回来了，即车的位置。在物理的波中，它以一种更微妙、更困难的方式呈现出来，尤其是在量子波或光波上。”

类比：量子态演化时，动力学相位对应“车的位置变化”，几何相位则类似“方向盘转过的总角度”，仅由路径几何决定。

案例2：北极探险与白熊谜题

谜题：为什么探险者不需要再向西走一英里走完一圈就能到家？熊的颜色到底和这些有什么关系？

答案：探险家向南、东、北各走1英里回到起点，遇到的熊是白色的。

起点在北极点，路径构成三角形。地球的球面几何导致“东行1英里”实际绕北极点转了一圈。这种路径的几何特性（类似闭合环路）使熊的颜色（物理现象）与几何相位关联，揭示了球面曲率的影响。

案例3：傅科摆的摆动方向偏移

傅科摆在地球表面摆动时，其方向会逐渐旋转。在北半球，摆动的旋转角度与纬度相关。例如巴黎的傅科摆每日旋转约270度。

几何相位体现：地球自转导致摆的路径在球面上形成闭合环路，摆动方向的偏移量（相位）由环路包围的球面面积决定，而非摆动的动力学过程。

案例4：超构表面透镜与AR眼镜

现代AR眼镜中的超薄透镜利用几何相位超构表面：通过旋转纳米结构（如悬链线形天线），使入射光获得几何相位差，实现聚焦或偏折。例如：

悬链线超构表面：单个纳米结构即可实现连续相位调控，替代传统多片透镜，使AR眼镜更轻薄。

全息投影：通过几何相位编码光波前，生成三维图像。