如何求解运动方程

求解牛顿方程是分子动力学的核心，之前讲了F=ma，那么推导出

对于势能的求导，力就是势能的梯度

速度是位移的一阶导数

加速度是二阶导数

里面需要进行泰勒展开进行求解

U是势能，由分子力场进行定义，m是质量确认,所以上述关联只有r(t)与v(t)

关于t的取值，由于电脑计算是根据取点进行计算，不可能是直接画出连续的曲线

所以t的点应该是离散型的，那么对于tn=n*步长，因为t0=0，tn就等与n个步长

t可以进行设定，那么这个时候我们重点是需要求出位置

r~（r0，t），这个时候用泰勒展开式进行处理

求解这个牛顿方程，可以直接用差分公式进行求解

这个就是最早的Verlet算法的思路

由于Verlet算法的局限性，所以延伸出2种比较好的方法

一种VV算法(速度Verlet算法)

速度与坐标可以同时得到，相对更加精准

一种Leap-frog法(蛙跳法)

相对Verlet算法更好，但是没法同时得到两个值，导致在控温时存在一定的影响

速度 verlet 不适用于有粘性（速度）影响加速度（力）的 CFD 问题，

可用于不受速度影响加速度（力）的分子动力学问题；

蛙跳法虽然采用半步长相互迭代的处理思路，

但处理会使本方法在实际操作时的近似处理影响计算精度，

精度可能会在理论精度附近抖动，略低于理论精度(截断的局部误差)

Beeman’s算法：基于Verlet算法改进体系的粒子位置和速度分别为，

Beeman’s算法的计算精确度得到了极大的提高，但计算成本也相应提高

除了求解牛顿方程还有一种就是关于哈密顿运动方程进行求解

其原理为H=K+U，K为动能，U为势能

原子受到的力是一种保守力，就是说他们做的功位置无关

由于K与位置无关，并且U与位置有关与t没有关系

采用内坐标的方法进行处理，采用分析相空间的方法

相比于求解牛顿方程来说

牛顿方程需要计算3N个二阶微分方程

哈密顿需要计算2(3n-r)个一阶微分方程，r为约束个数

对于没有约束条件下的计算其实是等价的

对于有约束条件下，两者的形式不同